«Экзотические» бинарные системы счисления для колец целых чисел Гаусса и Эйзенштейна
Чернов В.М.

ИСОИ РАН – филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН, 443001, Россия, г. Самара, ул. Молодогвардейская, д. 151,
Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королёва, 443086, Россия, г. Самара, Московское шоссе, д 34

Аннотация:
В работе рассматриваются нестандартные бинарные системы счисления для колец целых чисел Гаусса и Эйзенштейна. Принципиальным отличием («экзотичностью») таких систем счисления от канонических систем счисления И. Катаи для квадратичных полей является использование в качестве бинарного «цифрового алфавита» двухэлементного множества, не содержащего числового нуля.
В работе синтезируются также алгоритмы представления чисел в рассматриваемой системе счисления и характеризуются возможности эффективной реализации арифметических операций.

Ключевые слова:
системы счисления в квадратичных кольцах, кольца целых чисел Гаусса и Эйзенштейна, машинная арифметика.

Цитирование:
Чернов, В.М.
«Экзотические» бинарные системы счисления для колец целых чисел Гаусса и Эйзенштейна / В.М. Чернов // Компьютерная оптика. – 2018. – Т. 42, № 6. – С. 1068-1073. – DOI: 10.18287/2412-6179-2018-42-6-1068-1073.

Литература:

  1. Bergman, G. A number system with an irrational base /G. Bergman // Mathematics Magazine. – 1957. – Vol. 31, No. 2. – P. 98-110.
  2. Стахов, А.П. Коды золотой пропорции / А.П. Стахов. – М.: Радио и связь, 1984. – 152 с.
  3. Кнут, Д. Искусство программирования для ЭВМ. Том 2. Получисленные алгоритмы / Д. Кнут. – М.: Мир, 1977. – 728 c.
  4. Fraenkel, A.S.Systems of numeration /A.S. Fraenkel // The American Mathematical Monthly. – 1985. – Vol. 92, Issue 2. – P. 105-114. – DOI: 10.2307/2322638.
  5. Fraenkel, A.S.The use and usefulness of numeration systems / A.S. Fraenkel // Information and Computation. – 1989. – Vol. 81, Issue 1. – P. 46-61. – DOI: 10.1016/0890-5401(89)90028-X.
  6. Joo, I.Expansion with respect to non-integer bases/ I. Joo, F. Snitzer // Grazer Mathematische Berichte. – 1996. –Vol. 329. – P. 1-35.
  7. Fibonacci ratios with pattern recognition / ed. by L. Pesavento, S. Shapiro. – Greenville: Trader Press Inc., 1997. – 184 p. – ISBN: 978-0-934380-36-2.
  8. Peters, J.M.H. A ten point FFT calculation which features the golden ratio / J.M.H. Peters // The Fibonacci Quarterly. – 1996. – Vol. 34, Issue 4. – P. 323-325.
  9. Agaian, S.S.Fast orthogonal Fibonacci transforms /S.S. Agaian, S.B. Alaverdian// Proc. Int. Coll. On Coding Theory. – 1998. – P. 335-352.
  10. Kátai, I. Canonical number systems in imaginary quadratic fields / I. Kátai, J. Szabo // Acta Scientiarum Mathematicarum. – 1975. – Vol. 37. – P. 255-260.
  11. Богданов, П.С. Классификация бинарных квазиканонических систем счисления в мнимых квадратичных полях / П.С. Богданов, В.М. Чернов // Компьютерная оптика. – 2013. – Т. 37, № 3. – С. 391-400.
  12. Thuswardner, J. Elementary properties of canonical number systems in quadratic fields / J. Thuswaldner. – In: Application of Fibonacci numbers / ed. by G.E. Bergum, A.N. Philippou, A.F. Horadam. – Dordrecht: Springer Science+Business Media, 1998. – P. 405-414. – DOI: 10.1007/978-94-011-5020-0_45.
  13. Боревич, З.И. Теория чисел / З.И. Боревич, И.Р. Шафаревич. – 3-е изд. – М.: Наука, 1985. – 504 с.
  14. Чернов, В.М. Тернарные системы счисления в конечных полях / В.М. Чернов // Компьютерная оптика. – 2018. – Т. 42, № 4. – С. 704-711. – DOI: 10.18287/2412-6179-2018-42-4-704-711.
  15. Стахов, А.П.Помехоустойчивые коды (Компьютер Фибоначчи) / А.П. Стахов. – М.: Знание, 1989. – 64 с. – ISBN: 5-07-000867-6.
  16. Чернов, В.М.Реализация теоретико-числовых преобразований в кодах, порождённых избыточными системами счисления / В.М. Чернов // Электронное моделирование. – 1992. – Т. 15, № 4. – С. 33-37.
  17. Chernov, V.M.Fast algorithms of discrete orthogonal transforms realized in the number system with an irrational base / V.M. Chernov, D.V. Sobolev // Optical Memory & Neural Networks. – 2000. – Vol. 9, Issue 2. – P. 91-100.
  18. Chernov, V.M.Fibonacci-Mersenne and Fibonacci-Fermat discrete transforms / V.M. Chernov, M.V. Pershina // The Golden Section: Theory and Applications. Boletim de Informatica. – 1999. – No. 9/10. – P. 25-31.
  19. Chernov, V.M.Fast algorithm for «error-free» convolution computation using Mersenne-Lucas codes / V.M. Chernov // Chaos, Solitons and Fractals. – 2006. –Vol. 29, Issue 2. – P. 372-380. – DOI: 10.1016/j.chaos.2005.08.081.
  20. Чернов, В.М. Квазипараллельный алгоритм безошибочного вычисления свёртки в редуцированных кодах Мерсенна–Люка / В.М. Чернов // Компьютерная оптика. – 2015. – Т. 39, № 2. – С. 241-248. – DOI: 10.18287/0134-2452-2015-39-2-241-248.
  21. Чернов, В.М. Арифметические методы синтеза быстрых алгоритмов дискретных ортогональных преобразований / В.М. Чернов.  – М.: Физматлит, 2007. – 261 c. – ISBN: 5-9221-0940-6.

© 2009, IPSI RAS
Россия, 443001, Самара, ул. Молодогвардейская, 151; электронная почта: ko@smr.ru ; тел: +7 (846) 242-41-24 (ответственный секретарь), +7 (846) 332-56-22 (технический редактор), факс: +7 (846) 332-56-20