Моды планарного градиентного
гиперболического секансного волновода

Котляр В.В., Ковалев А.А., Триандафилов Я.Р., Налимов А.Г.

Аннотация:
Получены аналитические выражения для ТЕ- и ТМ- мод планарного гиперболического секансного (ГС) волновода, которые являются частным случаем более общих мод, распространяющихся в волноводах Эпштейна. Получено выражение для периода Тальбота (или фокусного расстояния) для ТЕ-мод в планарном ГС-волноводе, и показано, что для ТМ-мод не возникает периодичность и нет фокусировки в ГС-волноводе. Получены выражения для полной ширины по полуспаду интенсивности и нормированной интенсивности для основной ТЕ-моды в ГС-вол­новоде, и найдены параметры ГС-волновода, при которых ширина основной моды минимальна
и равна 0,11 от длины волны. С помощью моделирования программой FullWAVE показано модовое распространение световых полей с начальными аналитически полученными амплитудами в ограниченных ГС-волноводах и периодическое повторение немодовых световых полей в волноводе с периодом Тальбота. С помощью моделирования также показано, что ГС-линза, являющаяся «куском» ГС-волновода, фокусирует плоскую ТЕ-волну в субволновое фокусное пятно шириной по полуспаду интенсивности 0,131 от длины волны.

Abstract:
We obtained analytical expressions for TE and TM modes of the planar hyperbolic secant (HS) waveguide. These modes are partial case of the more general modes propagating in the Epstein’s waveguides. Expression for the Talbot period (or focal distance) has been obtained for TE-modes in the planar HS-waveguide and we show that for TM-modes there is no analogous periodicity and focusing in HS-waveguide. We obtained expressions for full width at half-maximum of intensity and normalized intensity for the fundamental TE-mode in the HS-waveguide and waveguide parameters have been found for which the with of the fundamental mode is minimal. In silicon HS-waveguide this minimal mode has width at half-maximum 0.11 of wavelength. By using FullWAVE simulation tool we show modal propagation of light fields with analytically obtained amplitudes in bounded HS-waveguides and we proved periodic reconstruction of non-modal light fields with the Talbot period. We also show by simulation that HS-lens, obtained by truncation of the HS-waveguide, focuses TE-polarized plane wave into subwavelength focal spot with half-maximum intensity 0.132 of wavelength.

Ключевые слова :
градиентный планарный волновод, гиперболический секансный волновод, ТЕ- и ТМ- моды, волновод Эпштейна, период Тальбота, ширина моды, гиперболическая секансная линза, субволновая фокусировка.

Key words: gradient-index planar waveguide, hyperbolic secant waveguide, TE and TM modes, Epstein’s waveguide, Talbot period, mode width, hyperbolic secant lens, subwavelength focusing.

Литература:

  1. Wang, X. Unrestricted superlensing in a triangular twodimensional photonic crystal / X. Wang, Z.F. Ren, K. Kempe // Opt. Express. – 2004. – Vol. 12. – P. 2919- 2924.
  2. Wu, Q. Graded negative index lens by photonic crystal / Q. Wu, J.M. Gibbons, W. Park // Opt. Express. – 2008. – Vol. 16, N 21. – P. 16941-16949.
  3. Minin, I.V. Subwavelength diffractive photonic crystal lens / I.V. Minin, O.V. Minin, Y.R. Triandafilov, V.V. Kotlyar // Prog. Electromag. Res. B. – 2008. – Vol. 7. – P. 257-264.
  4. Triandafilov, Y.R. A photonic crystal Mikaelian lens / I.V. Minin, O.V. Minin, Y.R. Triandafilov, V.V. Kotlyar // Opt. Mem. Neur. Netw. – 2008. – Vol. 17. – P. 1-7.
  5. Kotlyar, M.I. Photonic crystal lens for coupling two waveguides / M.I. Kotlyar, Y.R. Triandafilov, A.A. Ko­va­lev, V.A. Soifer, M.V. Kotlyar, L. O’Faolain // Appl. Opt. – 2009. – Vol. 48, N 19. – P. 3722-3730.
  6. Epstein, P.S. Reflection of waves inan inhomogeneous absorbing medium/ P.S. Epstein // Proc. Nat. Acad. Sci. USA 1930. – Vol. 16. – P. 627-237.
  7. Микаэлян, А.Л. Применение слоистой среды для фокусировки волн / А.Л. Микаэлян // ДАН СССР. – 1951. – Т. LXXXI. – C. 569-571.
  8. Rawson, E.G. Analysis of refractive index distributions in cylindrical, gradient-index glass rods used as image relays / E.G. Rawson, D.R. Herriott, J. MacKenne // Appl. Opt. – 1970. – Vol. 3, N 3 – P. 753-759.
  9. Bao, C. Gradient-index tapered hyperbolic second planar waveguide for focusing, collimation and beam-size control / C. Bao, C. Gomez-Reino, M.V. Perez // J. Opt. Sos. Am. A. – 1997. – Vol. 14, N 8. – P. 1754-1759.
  10. Linares, J. Optical propagator in a graded-index medium with a hyperbolic secant refractive-index profile / J. Lina­res, C. Gomez-Reino // Appl. Opt. – 1994. – Vol. 33, N 16. – P. 3427-3431.
  11. Streifer, W. Scalar analysis of radially inhomogeneous guiding media / W. Streifer, C.N. Kurz // J.Opt. Soc. Am. – 1967. – Vol. 57, N 6. – P. 779-786.
  12. Kornhauser, E.T. Modal solution of a point source in a strongly focusing medium / E.T. Kornhauser, W. Streifer, C.N. Kurz // Radio Sci. – 1967. – Vol. 2. – P. 299-310.
  13. Silberberg, Y. Modal treatment of an optical filter with a modified hyperbolic secant index distribution / Y. Sil­ber­berg, V. Levy // J. Opt. Soc. Am. A. – 1979. – Vol. 69, N 7. – P. 960-963.
  14. Duin, van C.A. TM-modes in a planar optical waveguide with a graded index of the symmetric Epstein type / C.A. van Duin, J. Boersma, F.W. Sluijter // Wave Motion. – 1986. – Vol. 8, N 2 – P. 175-190.
  15. Hewak, D.W. Solution deposited optical waveguide lens / D.W. Hewak, J.W.Y. Lit // Appl. Opt. – 1989. – Vol. 28, N 19. – P. 4190-4198.
  16. Rivas-Moscoso, J.M. Focusing of light by zone plates in selfoc gradient-index lenses / J.M. Rivas-Moscoso, D. Ni-eto, C. Gomez-Reino, C.R. Fernandez-Pousa // Opt. Lett. – 2003. – Vol. 28, N 22. – P. 2180-2182.
  17. Rivas-Moscoso, J.M. Hybrid refractive-diffractive-gradi­ent-index superresolving focusing device / J.M. Rivaz-Mos­­coso, C.R. Fernandez-Pousa, C. Gomez-Reino // Appl. Opt. – 2008. – Vol. 47, N 22. – P. E68-E75.
  18. Адамс, M. Введение в теорию оптических волноводов / M. Адамс.– М.: Мир, 1984.
  19. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица, И. Стигана – М.: Наука, 1979.
  20. Brambilla, G. Ultra-low-loss optical fiber nantapers / G. Brambilla, V. Finazzi, D.J. Richardson // Opt. Express. – 2004. – Vol. 12, N 10. – P. 2258-2263.
  21. Hartung, A. Limits of light guidance in optical nanfibers / A. Hartung, S. Brueckner, H. Bartelt // Opt. Express. – 2010. – Vol. 18, N 4. – P. 3754-3761.
  22. Tong, L. Subwavelength-diameter silica wires for low-loss optical wave guiding / L. Tong, A. Hartung, S. Brueckner, H. Bartelt // Nature. – 2003. – Vol. 426. – P. 816-818.

References:

  1. Wang, X. Unrestricted superlensing in a triangular twodimensional photonic crystal / X. Wang, Z.F. Ren, K. Kempe // Opt. Express. – 2004. – Vol. 12. – P. 2919- 2924.
  2. Wu, Q. Graded negative index lens by photonic crystal / Q. Wu, J.M. Gibbons, W. Park // Opt. Express. – 2008. – Vol. 16, N 21. – P. 16941-16949.
  3. Minin, I.V. Subwavelength diffractive photonic crystal lens / I.V. Minin, O.V. Minin, Y.R. Triandafilov, V.V. Kotlyar // Prog. Electromag. Res. B. – 2008. – Vol. 7. – P. 257-264.
  4. Triandafilov, Y.R. A photonic crystal Mikaelian lens / Y.R. Triandafilov, I.V. Minin, O.V. Minin, V.V. Kotlyar // Opt. Mem. Neur. Netw. – 2008. – Vol. 17. – P. 1-7.
  5. Kotlyar, M.I. Photonic crystal lens for coupling two waveguides / M.I. Kotlyar, Y.R. Triandafilov, A.A. Ko­va­lev, V.A. Soifer, M.V. Kotlyar, L. O’Faolain // Appl. Opt. – 2009. – Vol. 48, N 19. – P. 3722-3730.
  6. Epstein, P.S. Reflection of waves inan inhomogeneous absorbing medium / P.S. Epstein // Proc. Nat. Acad. Sci. USA 1930. – Vol. 16. – P. 627-237.
  7. Mikaelian, A.L. Application of stratified medium for waves focusing / A.L. Mikaelian // Doklady Akademii Nauk SSSR. – 1951. – Vol. 81. – P. 569–571. – (in Russian).
  8. Rawson, E.G. Analysis of refractive index distributions in cylindrical, gradient-index glass rods used as image relays / E.G. Rawson, D.R. Herriott, J. MacKenne // Appl. Opt. – 1970. – Vol. 3, N 3 – P. 753-759.
  9. Bao, C. Gradient-index tapered hyperbolic second planar waveguide for focusing, collimation and beam-size control / C. Bao, C. Gomez-Reino, M.V. Perez // J. Opt. Sos. Am. A. – 1997. – Vol. 14, N 8. – P. 1754-1759.
  10. Linares, J. Optical propagator in a graded-index medium with a hyperbolic secant refractive-index profile / J. Lina­res, C. Gomez-Reino // Appl. Opt. – 1994. – Vol. 33, N 16. – P. 3427-3431.
  11. Streifer, W. Scalar analysis of radially inhomogeneous guiding media / W. Streifer, C.N. Kurz // J.Opt. Soc. Am. – 1967. – Vol. 57, N 6. – P. 779-786.
  12. Kornhauser, E.T. Modal solution of a point source in a strongly focusing medium / E.T. Kornhauser, W. Streifer, C.N. Kurz // Radio Sci. – 1967. – Vol. 2. – P. 299-310.
  13. Silberberg, Y. Modal treatment of an optical filter with a modified hyperbolic secant index distribution / Y. Sil­ber­berg, V. Levy // J. Opt. Soc. Am. A. – 1979. – Vol. 69, N 7. – P. 960-963.
  14. Duin, van C.A. TM-modes in a planar optical waveguide with a graded index of the symmetric Epstein type / C.A. van Duin, J. Boersma, F.W. Sluijter // Wave Motion. – 1986. – Vol. 8, N 2 – P. 175-190.
  15. Hewak, D.W. Solution deposited optical waveguide lens / D.W. Hewak, J.W.Y. Lit // Appl. Opt. – 1989. – Vol. 28, N 19. – P. 4190-4198.
  16. Rivas-Moscoso, J.M. Focusing of light by zone plates in selfoc gradient-index lenses / J.M. Rivas-Moscoso, D. Ni-eto, C. Gomez-Reino, C.R. Fernandez-Pousa // Opt. Lett. – 2003. – Vol. 28, N 22. – P. 2180-2182.
  17. Rivas-Moscoso, J.M. Hybrid refractive-diffractive-gradi­ent-index superresolving focusing device / J.M. Rivaz-Mos­­coso, C.R. Fernandez-Pousa, C. Gomez-Reino // Appl. Opt. – 2008. – Vol. 47, N 22. – P. E68-E75.
  18. Adams, M. An Introduction to Optical Waveguides – J. Wiley and Sons, Chichester, New York, Brisbane, Toronto, 1981. – (in Russian).
  19. Handbook of Mathematical Functions / ed. M. Abramo­witz, I.A. Stegun. – National Bureau of Standards, Washington, DC, 1964. – 1044p.
  20. Brambilla, G. Ultra-low-loss optical fiber nantapers / G. Brambilla, V. Finazzi, D.J. Richardson // Opt. Express. – 2004. – Vol. 12, N 10. – P. 2258-2263.
  21. Hartung, A. Limits of light guidance in optical nanfibers / A. Hartung, S. Brueckner, H. Bartelt // Opt. Express. – 2010. – Vol. 18, N 4. – P. 3754-3761.
  22. Tong, L. Subwavelength-diameter silica wires for low-loss optical wave guiding / L. Tong, A. Hartung, S. Brueckner, H. Bartelt // Nature. – 2003. – Vol. 426. – P. 816-818.

© 2009, ИСОИ РАН
Россия, 443001, Самара, ул. Молодогвардейская, 151; электронная почта: ko@smr.ru ; тел: +7 (846 2) 332-56-22, факс: +7 (846 2) 332-56-20